사각형은 곧 두 삼각형의 합집합이다. 평행사변형은 합동인 두 삼각형으로 갈라져 $S = ab\sin C$ 로, 임의의 사각형은 두 대각선의 사잇각으로 $S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$ 로 — 모든 식의 뿌리는 한 가지, 사인 = 높이 이다.
평행사변형 $ABCD$ 에서 두 이웃한 변의 길이를 $a, b$, 그 사이의 각을 $C$ 라 하자. 대각선 하나를 그어 두 합동인 삼각형으로 나누면, 한 삼각형의 넓이는 $\tfrac{1}{2}ab\sin C$ 이고 사각형은 그 두 배이므로 $\tfrac{1}{2}$ 가 사라진다.
여기서 $a, b$ 는 이웃한 두 변, $C$ 는 그 사잇각.
$C$ 가 둔각이어도 $\sin(180°-C)=\sin C$ 이므로 식이 그대로 성립.
$\triangle ABC$ 의 넓이 = $\tfrac{1}{2}ab\sin C$. 사각형은 합동인 두 삼각형이므로 $\times 2$ 하여 $\tfrac{1}{2}$ 가 소거.
밑변을 $a$, 높이를 $h$ 라 하면 $h = b\sin C$ 이므로 $S = a \cdot h = a \cdot b\sin C = ab\sin C$.
→ 사인이 곧 경사진 변에서 추출한 높이.
사각형의 두 변이 평행하다는 보장이 없을 때조차, 두 대각선의 길이 $d_1, d_2$ 와 그 사잇각 $\theta$ 만 알면 넓이가 결정된다.
$d_1, d_2$: 두 대각선의 길이 / $\theta$: 두 대각선이 이루는 각.
볼록·오목·평행사변형·사다리꼴 등 두 대각선이 만나는 모든 사각형에 적용.
대각선 교점 $P$ 가 $d_1$ 을 $p, q$ ($p+q=d_1$), $d_2$ 를 $r, s$ ($r+s=d_2$) 로 나눈다. 네 삼각형의 넓이 합 $= \tfrac{1}{2}(p+q)(r+s)\sin\theta = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$.
중학교 1~2학년에서 배운 마름모 공식이 정확히 같은 식의 특별한 경우. $\theta=90°$ 라서 $\sin$ 이 1로 사라진 것.
평행한 두 변 $a, b$ 와 빗변에 의한 높이 $h$. 빗변 $\ell$ 과 밑변의 사잇각이 $\alpha$ 면 $h = \ell\sin\alpha$.
$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}(a+b)\cdot h$ (초·중1에서 배운 공식 그대로 — 다만 $h$ 를 사인으로 추출).
마름모의 두 대각선은 서로 수직으로 이등분한다. 따라서 $\theta=90°$, $\sin\theta=1$.
$\displaystyle S = \tfrac{1}{2}\,d_1\,d_2 \cdot 1 = \tfrac{1}{2}d_1d_2$
전략 요약 사각형 문제를 만나면 → ① 두 변 + 끼인각이 주어졌는가? → 평행사변형 공식. ② 두 대각선 + 사잇각이 주어졌는가? → 대각선 공식. ③ 평행한 두 변과 빗변이 주어졌는가? → 사다리꼴 공식 + $h = \ell\sin\alpha$. ④ 어디에도 안 맞으면 → 대각선 하나로 잘라 두 삼각형의 합.
$S = ab\sin C$. 두 변과 사잇각만으로. (1/2 없음 — 두 삼각형의 합이므로)
$S = \tfrac{1}{2}d_1 d_2 \sin\theta$. 두 대각선의 길이와 사잇각만으로.
대각선이 수직 → $\sin 90°=1$ → $S=\tfrac{1}{2}d_1 d_2$. 옛 공식의 정체가 드러난다.
$h = \ell\sin\alpha$ 로 높이를 추출해서 $\tfrac{1}{2}(a+b)h$. 사인이 빗변을 높이로 변환.
관통 원리 이 단원 모든 식의 뿌리는 한 가지 — $\sin\theta$ 는 변에서 추출한 높이의 비율. 삼각형은 ½ab sin C, 평행사변형은 ab sin C, 일반 사각형은 ½d₁d₂ sin θ. 모양은 달라도 사인이 하는 일은 같다.